Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点，点N位于AB上．
（Ⅰ）问当

AN

NB

为何值时，MN⊥MC₁
（Ⅱ）当N为AB中点时，求直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）连接MB₁，NB₁，由正方体的几何特征，我们可得MN⊥MB₁，设正方体的棱长为1，AN=x，由勾股定理，可以得到一个关于x的方程，解方程求出x值，即可得到答案．
（II）连接NC₁，NB₁，由正方体的几何特征，可得∠C₁NB₁即为直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角，解△NB₁C₁即可得到直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）连接MB₁，NB₁，∵C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，∴C₁B₁⊥MN，若MN⊥MC₁，则MN⊥平面MC₁B₁⇒MN⊥MB₁，
在平面ABB₁A₁内，设正方体的棱长为1，AN=x，由于MN²+MB₁²=NB₁²，
可得：x2+

1

4

+1+

1

4

=(1-x)2+1⇒x=

1

4

，故

AN

NB

=

1

3

．…（8分）
（Ⅱ）连接NC₁，NB₁∵C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，
知∠C₁NB₁即为直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角．设正方体的棱长为1，
在△NB₁C₁中，∵NB1=

5

2

∴tan∠C1NB1=

C1B1

NB1

=

2 5

5

…（15分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是根据勾股定理，构造一个关于x的方程，（2）的关键是证得∠C₁NB₁即为直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角．