Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱都与底面垂直，且有AA₁=AB=BC=AC，点E是线段BB₁的中点，则平面C₁EA与底面ABC所成的二面角的大小（锐角）是

45°

．

Answer 1

分析：延长C₁E与直线BC交于D点，证明∠CAC₁是平面C₁EA与底面ABC所成的二面角的平面角．然后根据直角三角形的边角关系求二面角的大小即可．

解答：解：在平面BCC₁B₁中，延长C₁E与直线BC交于D点，
则AD为平面C₁EA与面ABC的交线，
∵AA₁=AB=BC=AC，点E是线段BB₁的中点，
∴BD=BC=AB，
∴△CAD是直角三角形，∠CAD=90°，
∴AC⊥AD．
CC₁⊥平面ABC，
∴AC₁⊥AD，
∴∠CAC₁是平面C₁EA与底面ABC所成的二面角的平面角．
在直角三角形ACC₁中，CC₁=AC，
∴tan∠C1AC=

CC1

AC

=1，
即∠CAC₁=45°．
故答案为：45°．

点评：本题主要考查空间二面角的大小的求法，利用二面角的定义确定二面角的平面角是解决本题的关键，本题也可以使用向量法进行求解．