Question

设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2.

(1)当x＝1时，f(x)取到极值，求a的值；

(2)当a满足什么条件时，f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间？

 

Answer 1

（1）a＝－ （2）a∈(－1，＋∞)．

【解析】【解析】
(1)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2ax－1＝，

由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，

又当a＝－时，f′(x)＝＝，

当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，

所以f(1)是函数f(x)的极大值，所以a＝－.

(2)要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，

即要求f′(x)>0在区间[－，－]上有解，

当－≤x≤－时，

f′(x)>0等价于2ax＋(2a＋1)>0.

①当a＝0时，不等式恒成立；

②当a>0时，得x>－，

此时只要－<－，

解得a>0；

③当a<0时，得x<－，

此时只要－>－，

解得－1<a<0.

综上所述，a∈(－1，＋∞)．