Question

如图，在三棱锥C-OAB中，OA⊥OB，CB⊥平面OAB，OA=2，OB=4，BC=6，M为AC的中点，求：
（1）直线OM与AB所成角的余弦值；
（2）直线AB与平面OAC所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）建立如图所示的坐标系，有O（0，0，0），A（2，0，0），
B（0，4，0），C（0，4，6），M（1，2，3）
∴，
∴=-2+8+0=6
∴cos＜＞==
（2）设平面OAC的法向量为，
则，
∴2a=0，
4b+6c=0，
∴
设直线AB与平面OAC所成的角是θ，
∴sinθ=|cos＜＞=
分析：（1）根据所给的图形，建立坐标系，写出点的坐标，得到对应的向量，根据两个向量的夹角的余弦，写出两条异面直线的余弦值．
（2）设出平面的法向量，根据法向量与平面上两条不共线的向量的数量积等于0，得到平面的一个法向量，根据两个向量之间夹角的余弦值等于线面之间的夹角的正弦值．
点评：本题考查直线与平面所成的角和线面角，本题解题的关键是建立坐标系，把繁琐的理论证明变换成了数字的运算．