Question

已知：过点A（0，1）且方向向量为

a

=(1，k)的直线l与⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：

AM

•

AN

=定值．

Answer 1

分析：（1）只要求出在极限情况，即相切时k的值为多少即可．（2）有切割弦定理可求数量积的值．

解答：解：（1）可设直线l的方程为y=kx+1，与圆的方程：（x-2）²+（y-3）²=1它的圆心（2，3）半径是1．
直线与圆相切时有

|2k-3+1|

k2+1

=1，解得 k=

4- 7

3

或k=

4+ 7

3

所以，

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

．
（2）点A（0，1）在圆外，直线l与⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两点，

AM

•

AN

=|AM||AN|cos0°=|AM||AN|，过A引一切线，切点为T，|有切割弦定理可知：|AM||AN|=|AT|²
是定值．

点评：本题考查圆心到直线的距离，直线方程，在（1）中注意k的范围的问题，容易出错，（2）中的切割弦定理容易疏忽．