Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，—3）、N（5，1），若动点C满足交于A、B两点。

   （I）求证：；

（2）在x轴上是否存在一点，使得过点P的直线l交抛物线于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ） 见解析   （Ⅱ）存在m=4

解析:

（I）解：由

知点C的轨迹是过M，N两点的直线，故点C的轨迹方程是：

   （II）解：假设存在于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。设

    由题意，直线l的斜率不为零，  所以，可设直线l的方程为

                                 

  代入 …………7分

10分

  

  此时，以DE为直径的圆都过原点。 …………12