Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为．过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．过定点M（0，3）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的离心率计算公式及其定义即可得到a，b，c，进而即可得到椭圆的标准方程；
（II）设直线l₁的方程为y=kx+3（k＞0），与椭圆的方程联立，由直线与椭圆由两个不同的交点?△＞0，可得k的取值范围，及其根与系数的关系；
“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l₁”．即可得到用k表示m，利用导数即可得出取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，
△ABF₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|AF₁|+|AF₂|=4a=8，
解得a=2，c=1，则b²=a²-c²=3，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）直线l₁的方程为y=kx+3（k＞0），
由，消去y并整理得（3+4k²）x²+24kx+24=0（*），
△=（24k）²-4×24×（3+4k²）＞0，解得，
设椭圆的弦GH的中点为N（x，y），
则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l₁”．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由韦达定理得，x₁+x₂=，
所以x==，∴y=kx+3═，
∴，，
所以，，解得．
，
所以，函数在定义域单调递增，，
所以满足条件的点P（m，0）存在，m的取值范围为．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性等基础知识与解题模式，需要较强的推理能力和计算能力．