Question

如图,在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,各棱长都等于a,D、E分别是AC₁、BB₁的中点.

(1)求证:DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线段,并求其长度;

(2)求二面角E-AC₁-C的大小;

(3)求点C到平面AEC₁的距离.

Answer 1

(1)证明:如图所示,取A₁C₁的中点F,连结DF、B₁F,

∵△A₁C₁B₁是正三角形,∴B₁F⊥A₁C₁.

又∵CC₁⊥面A₁B₁C₁,故B₁F⊥CC₁.

∴B₁F⊥平面ACC₁A₁.

又∵D为AC₁中点,F为A₁C₁中点,

∴DF∥EB₁且DF=EB₁.

又∵B₁F⊥DF,

∴四边形DFB₁E为矩形,

故DE∥B₁F.

∴DE⊥面ACC₁A₁,即有DE⊥AC₁.

又CC₁∥BB₁,DE⊥CC₁,

∴DE⊥BB₁,即证得DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线,DE=B₁F=.

(2)解:如图,连结CD,在正方形ACC₁A₁中,

∵D是对角线AC₁的中点,

∴CD⊥AC₁,且CD=AC₁=.

又∵DE⊥平面ACC₁A₁,

∴CD⊥DE.

∴CD⊥平面AEC₁.

∴二面角E-C₁-的大小为90°.

(3)解:∵CD⊥面AEC₁,

∴C点到面AEC₁的距离等于CD,

∵CD=,

∴C点到面AEC₁的距离为.