Question

已知点A、B、C、D的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（，）．
（1）若||=||，求角α的值；
（2）若•=-1，求的值．
（3）若在定义域α∈（，）有最小值-1，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的坐标运算与向量的模||=||，可求得sinα=cosα，从而可求得角α的值；
（2）由•=-1可求得sinα+cosα=，从而可求得sin2α，而可化简为2sinαcosα，从而可得答案；
（3）依题意记y=f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2，令x=sinα，结合题意可求得y=2x²-tx-t²，x∈（-1，1），利用二次函数的单调性与最值即可求得t的值．
解答：解：（1）∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3），
∴||==，
||==…（2分）
由||=||得sinα=cosα，
又α∈（，），
∴α=…（5分）
（2）由•=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=，①（6分）
又==2sinαcosα．（7分）
由①式两边平方得1+2sinαcosα=，
∴2sinαcosα=．（8分）
∴=-．（9分）
（3）依题意记y=f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2
=-2（1-sin²α）-tsinα-t²+2
=2sin²α-tsinα-t²（10分）
令x=sinα，∵α∈（，），
∴sinα∈（-1，1），
∴y=2x²-tx-t²，x∈（-1，1）（11分）
其对称轴为x=，
∵y=2x²-tx-t²在x∈（-1，1）上存在最小值，
∴对称轴x=∈（-1，1），
∴t∈（-4，4）（12分）
当且仅当x=时，y=2x²-tx-t²取最小值，为y_min=2×-t•-t²=-t²=-1，
∴t=±（14分）
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查平面向量的坐标运算，考查二次函数性质的综合应用，属于难题．