题目内容
已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．
（1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；
（2）求{an}的通项公式；
（3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记An=Cn1a1+Cn2a2+…+Cnnan，求
的值．
（1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；
（2）求{an}的通项公式；
（3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记An=Cn1a1+Cn2a2+…+Cnnan，求
| lim |
| n→∞ |
| An |
| 2n |
（1）由an+1=（1+q）an-qan-1得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1（n≥2）（2分）
又a1=1，a2=2，所以b1=a2-a1=1，又q≠0．
所以{bn}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）bn=qn-1（5分）
注：在证明中若从bn=qbn-1（n≥2）得出{bn}是等比数列扣（1分）．
（2）由bn=an+1-an及bn=qn-1得an+1-an=qn-1（6分）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=qn-2+qn-3+…+q+1+（18分）
当q=1时an=n（9分）
当q≠1时an=
+1（10分）
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=
+1=
+
=
(2n-1)+
[(1+q)n-1]（13分）
=
(1-
)+
[(
)n-
]
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2?-1＜
＜1
则
(
)n=0，又
=0
所以
=
{
(1-
)+
[(
)n-
]}=
（16分）
又a1=1，a2=2，所以b1=a2-a1=1，又q≠0．
所以{bn}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）bn=qn-1（5分）
注：在证明中若从bn=qbn-1（n≥2）得出{bn}是等比数列扣（1分）．
（2）由bn=an+1-an及bn=qn-1得an+1-an=qn-1（6分）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=qn-2+qn-3+…+q+1+（18分）
当q=1时an=n（9分）
当q≠1时an=
| 1-qn-1 |
| 1-q |
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=
| 1-qn-1 |
| 1-q |
| 2-q |
| 1-q |
| qn-1 |
| q-1 |
|
=
| 2-q |
| 1-q |
| 1 |
| q(q-1) |
| An |
| 2n |
| q-2 |
| q-1 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| q(q-1) |
| 1+q |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2?-1＜
| q+1 |
| 2 |
则
| lim |
| n→∞ |
| 1+q |
| 2 |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| 2n |
所以
| lim |
| n→∞ |
| An |
| 2n |
| lim |
| n→∞ |
| q-2 |
| q-1 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| q(q-1) |
| 1+q |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
| q-2 |
| q-1 |
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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