Question

9．设集合A={m+n$\sqrt{3}$|m²-3n²=1，m，n∈Z}．
（1）证明：若a∈A，则$\frac{1}{a}$∈A，且$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$∈A；
（2）对于实数p，q，如果1＜p≤q，证明：2$＜p+\frac{1}{p}≤q+\frac{1}{q}$；并由此说明，A中元素若满足1$＜b≤2+\sqrt{3}$，则b=2$+\sqrt{3}$；
（3）设c∈A，试求满足2$+\sqrt{3}$＜c≤（2$+\sqrt{3}$）²的A的元素．

Answer 1

分析 （1）若a∈A，则a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，进而得到$\frac{1}{a}$，$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$均满足集合A的性质，进而得到结论；
（2）构造函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），利用导数分析其单调性，进而可得如果1＜p≤q，则2$＜p+\frac{1}{p}≤q+\frac{1}{q}$；进而得到A中元素若满足1$＜b≤2+\sqrt{3}$，则b=2$+\sqrt{3}$；
（3）设c∈A，结合（1）（2）中结论，可得c值．

解答 证明：（1）若a∈A，则a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，
则$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{m+n\sqrt{3}}$=$\frac{m-n\sqrt{3}}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$=$m-n\sqrt{3}$=m+（-n）$\sqrt{3}$且m²-3（-n）²=1，m，-n∈Z，
故$\frac{1}{a}$∈A，
则$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$=$（2-\sqrt{3}）$（m+n$\sqrt{3}$）=（2m-3n）+（2n-m）$\sqrt{3}$，
此时（2m-3n）²-3（2n-m）²=m²-3n²=1，
故$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$∈A；
（2）令f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），则f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
故x≥1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$为增函数，
∵1＜p≤q，f（1）=2
∴2$＜p+\frac{1}{p}≤q+\frac{1}{q}$；
令b=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，
∵1$＜b≤2+\sqrt{3}$，
∴2＜b+$\frac{1}{b}$≤$2+\sqrt{3}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，
∴2＜2m≤4，
则m=2，n=1，则b=2$+\sqrt{3}$；
（3）∵c∈A，且2$+\sqrt{3}$＜c≤（2$+\sqrt{3}$）²，
∴$\frac{c}{2+\sqrt{3}}$∈A，且1＜$\frac{c}{2+\sqrt{3}}$≤2$+\sqrt{3}$，
由（2）得：$\frac{c}{2+\sqrt{3}}$=2$+\sqrt{3}$，
∴c=（2$+\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$

点评 本题考查的知识点是集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合，函数，不等式的综合应用，难度中档．