Question

已知函数f（x）=Asin（φx+φ） （A＞0，φ＞0，|φ|＜

π

2

）的图象与y轴的交点为（0，

3

2

），它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3）、（x₀+2π，-3）
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）求这个函数的对称中心的坐标和对称轴方程；
（III）求f（x）在x∈[0，π]时的值域．

Answer 1

分析：（I）通过函数的最大值点求出A，最大值与最小值的横坐标求出函数的周期，然后求出ω，利用函数经过（0，

3

2

），以及φ的范围，求出φ，然后得到函数y=f（x）的解析式．
（II）因为由

1

2

x+

π

6

=kπ，k∈Z，解得x的值，可得函数的对称中心的坐标．由

1

2

x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得x的值，可得函数的对称轴方程．
（III）由 x∈[0，π]，可得

1

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，可得 sin（

1

2

x+

π

6

）的最大值与最小值，由此求得函数f（x）=3sin（

1

2

x+

π

6

）的值域．

解答：解：（I） 由题意可得A=3，由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3），
可得

T

2

=x₀+2π-x₀=2π，∴T=4π，从而ω=

1

2

．
又图象与y轴交于点（0，

3

2

），∴

3

2

=3sinφ，故有 sinφ=

1

2

．
由于|φ|＜

π

2

），∴φ=

π

6

，故 函数的解析式为f（x）=3sin（

1

2

x+

π

6

）．
（II）因为由

1

2

x+

π

6

=kπ，k∈Z，解得x=-

π

3

+2kπ，（k∈Z），所以函数的对称中心：（-

π

3

+2kπ，0）（k∈Z）．
因为由

1

2

x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=2kπ+

2π

3

，故函数的对称轴方程为 x=2kπ+

2π

3

，k∈Z．
（III）∵x∈[0，π]，∴

1

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，故当

1

2

x+

π

6

=

π

6

时，函数取得最小值为3×

1

2

=

3

2

；
当

1

2

x+

π

6

=

π

2

时，函数取得最大值为 3．
综上可得，函数的值域为[

3

2

，3]．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，注意平移时x的系数，避免错误．