题目内容
（2013•莱芜二模）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x+1）是偶函数（x-1）f′（x）＜0．若x1＜x2，且x1+x2＞2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（ ）
分析：由f（x+1）为偶函数可得f（x）图象关于x=1对称，由（x-1）f′（x）＜0，可得f（x）在（-∞，1]，[1，+∞）上的单调性，分情况讨论：若x1≤1，利用对称性把f（x1）变到区间[1，+∞）上用单调性与f（x2）比较；若x1＞1，则由1＜x1＜x2直接用单调性可进行大小比较．
解答：解：因为f（x+1）是偶函数，所以f（-x+1）=f（x+1），则f（x）的图象关于x=1对称，
由（x-1）f′（x）＜0得，x＞1时f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＜1时f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若x1≤1，由x1+x2＞2，得x2＞2-x1≥1，
所以f（x1）=f（2-x1）＞f（x2）；
若x1＞1，则1＜x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2），
综上知f（x1）＞f（x2），
故选C．
由（x-1）f′（x）＜0得，x＞1时f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＜1时f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若x1≤1，由x1+x2＞2，得x2＞2-x1≥1，
所以f（x1）=f（2-x1）＞f（x2）；
若x1＞1，则1＜x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2），
综上知f（x1）＞f（x2），
故选C．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，由所给条件分析出函数的对称性、单调性是解决问题的关键，数形结合是分析本题的有力工具．
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