Question

已知数列满足，，．

（1）若成等比数列，求的值；

（2）是否存在，使数列为等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，当a1＝1时，数列{an}为等差数列．

【解析】

试题分析：（1）首先利用递推公式把都用表示，再根据成等比数列，列方程解出的值.（2）对于这类开放性问题，处理的策略就是先假设存在a1，使数列{an}为等差数列，与（1）类似，根据成等差数列，有，从面得到关于的方程，方程若有解则存在，否则可认为不存在a1，使数列{an}为等差数列.

试题解析：（1）∵0＜a1＜2，

∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|＝2－(2－a1)＝a1．

∵a1，a2，a3成等比数列，

∴a22＝a1a3，即(2－a1)2＝a12，

解得a1＝1． 6分

（2）假设这样的等差数列存在，则

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝2a1，

解得a1＝1．

从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；

因此，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列． 12分

考点：等差数列、等比数列的定义.