Question

若x∈[-

π

6

，π]，
（1）求sinx的值域；
（2）求y=sin²x+2sinx+2的值域．

Answer 1

分析：（1）结合正弦函数的图象可得当x=-

π

6

时，y=sinx取最小值，当x=

π

2

时，y=sinx取最大值；（2）令sinx=t，由（1）知t∈[-

1

2

，1]，换元配方可得y=（t+1）²+1，由二次函数的性质可得答案．

解答：解：（1）由题意可知y=sinx在x∈[-

π

6

，

π

2

]单调递增，
在x∈[

π

2

，π]单调递减，
∴当x=-

π

6

时，y=sinx取最小值-

1

2

，
当x=

π

2

时，y=sinx取最大值1，
∴y=sinx，x∈[-

π

6

，π]的值域为[-

1

2

，1]
（2）令sinx=t，由（1）知t∈[-

1

2

，1]，
∴y=sin²x+2sinx+2=t²+2t+2=（t+1）²+1，
由二次函数的性质可知，当t∈[-

1

2

，1]时，函数y=（t+1）²+1单调递增，
∴当t=-

1

2

时，y取最小值

5

4

，当t=1时，y取最大值5，
故所求函数的值域为[

5

4

，5]

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，涉及换元法和二次函数的性质，属基础题．