Question

(理)如图,与抛物线x²=-4y相切于点A(-4,-4)的直线l分别交x轴、y轴于点F、E,过点E作y轴的垂线l₀.

(1)若以l₀为一条准线,中心在坐标原点的椭圆恰与直线l也相切,切点为T,求椭圆的方程及点T的坐标;

(2)若直线l与双曲线6x²-λy²=8的两个交点为M、N,且点A为线段MN的中点,又过点E的直线与该双曲线的两支分别交于P、Q两点,记在x轴正方向上的投影为p,且p²=m,m∈,求(1)中切点T到直线PQ的距离的最小值.

(文)如图,与抛物线x²=-4y相切于点A(-4,-4)的直线l分别交x轴、y轴于点F、E,过点E作y轴的垂线l₀.

(1)若以l₀为一条准线,中心在坐标原点的椭圆恰好过点F,求椭圆的方程;

(2)若直线l与双曲线6x²-λy²=8的两个交点为M、N,且点A为线段MN的中点,又过点E的直线与该双曲线的两支分别交于P、Q两点,记在x轴正方向上的投影为p,且=m,m∈,求直线PQ的斜率的取值范围.

Answer 1

(理)解:抛物线x²=-4y中,

∵导数y′=-x,

∴直线l的斜率为y′|_x=-4=2.

故直线l的方程为y=2x+4.

∴点F、E的坐标分别为F(-2,0)、E(0,4).

(1)∵直线l₀的方程是y=4,

∴以l₀为一条准线,中心在坐标原点的椭圆方程可设为=1(a＞b＞0).则=4.

由(4b²+a²)x²+16b²x+16b²-a²b²=0.

∵直线l与椭圆相切,

∴Δ=16²b⁴-4(4b²+a²)(16b²-a²b²)=0.

而=4,a²=b²+c²,

解得a²=4,b²=3.

∴所求椭圆方程为=1.

此时,x=

==-,

即切点T的坐标为T(-,1).

(2)设l与双曲线6x²-λy²=8的两个交点为M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),显然x₁≠x₂.

∵点A为线段MN的中点,

∴x₁+x₂=-8,y₁+y₂=-8.

由.

而k_l==2λ=3.

∴双曲线的方程为6x²-3y²=8,

即=1.         

∵在x轴正方向上的投影为p,

∴p²=cos²∠EFO=.

设直线PQ的方程为y=kx+4(斜率k必存在),点P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄).

∴=x₃x₄+y₃y₄==5m.

而m∈［,］,

∴≤=x₃x₄+y₃y₄≤.

由(6-3k²)x²-24kx-56=0.

∵P、Q两点分别在双曲线的两支上,

∴6-3k²≠0.

∴

∴-＜k＜.

此时y₃y₄=(kx₃+4)(kx₄+4)=k²x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16.

∴x₃x₄+y₃y₄=(1+k²)x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16

=(1+k²)++16

=

=.             

∴≤≤.

∴40-20k²≤40-8k²

40-8k²≤80-40k²0≤k²≤.

又-＜k＜,

∴k²∈［0,］,即k∈［-,］.

而切点T到直线PQ的距离为

d=.

设t=,k∈［-,］,

则t′=.

令t′＞0k＜-或k＞2.

∴t=在［-,-］上单调递增,在［-,-］上单调递减.

又k=-时,d=2+;k=时,d=2-.

∴d_min=2-,即切点T到直线PQ的距离的最小值为2-.

(文)解:抛物线x²=-4y中,

∵导数y′=-x,

∴直线l的斜率为y′|_x=-4=2.

故直线l的方程为y=2x+4.

∴点F、E的坐标分别为F(-2,0)、F(0,4),

(此处也可用Δ=0求切线斜率,再写出方程)

(1)∵直线l₀的方程是y=4,

∴以l₀为一条准线,经过点F,中心在坐标原点的椭圆方程可设为=1(a＞2).

则c=,其准线方程为y==.

由=4,得=4,化简得a⁴=16(a²-4),解得a²=8.

∴椭圆方程为=1.              

(2)设l与双曲线6x²-λy²=8的两个交点为M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),显然x₁≠x₂.

∵点A为线段MN的中点,

∴x₁+x₂=-8,y₁+y₂=-8.

由.

∵k_l==2λ=3.

∴双曲线的方程为6x²-3y²=8,

即=1.

∵在x轴正方向上的投影为p,

∴p²=cos²∠EFO=.

设直线PQ的方程为y=kx+4(斜率k必存在),点P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄).

∴=x₃x₄+y₃y₄==5m.

而m∈［,］,

∴≤=x₃x₄+y₃y₄≤.

由(6-3k²)x²-24kx-56=0.

∵P、Q两点分别在双曲线的两支上,

∴6-3k²≠0.

∴

∴-＜k＜.        

此时y₃y₄=(kx₃+4)(kx₄+4)=k²x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16.

∴x₃x₄+y₃y₄=(1+k²)x₃x₄+4k(x₃+x₄)+16

=(1+k²)++16

==.                

∴≤≤.

∴

0≤k²≤.

又-＜k＜,∴k²∈［0, ］.

∴k∈［,］.

故所求直线PQ的斜率的取值范围是［,］.