Question

在等差数列和等比数列中，，，是前项和．
（1）若，求实数的值；
（2）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)；(2)存在，；(3)存在，(答案不唯一)．

试题分析：(1)数列是等比数列，其前和的极限存在，因此有公式满足，且极限为；(2)由于是正整数，因此可对按奇偶来分类讨论，因此当为奇数时，等比数列的公比不是整数，是分数，从而数列从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列中，而当为偶数时，数列的所有项都在中，设，则，展开有
，这里用到了二项式定理，，结论为真；(3)存在时只要找一个，首先不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让，取特殊值求出，如取，可得，此时在数列中，由于是无理数，会发现数列除第一项以外都是无理数，而是整数，不在数列中，命题得证，(如取其它的又可得到另外的值)．
试题解析：（1）对等比数列，公比．
因为，所以．     ２分
解方程，      ４分
得或．
因为，所以．     ６分
（2）当取偶数时，中所有项都是中的项．        8分
证: 由题意：均在数列中，
当时，
 
说明的第n项是中的第项．        10分
当取奇数时，因为不是整数，
所以数列的所有项都不在数列中。    12分
综上，所有的符合题意的。
（3）由题意，因为在中，所以中至少存在一项在中，另一项不在中。                    14分
由得，
取得，即.
取4，得（舍负值）。此时。           16分
当时，，，对任意，.    18分
综上，取．
(此问答案不唯一，请参照给分)