Question

（2006•丰台区二模）已知函数f（x）=mx-nx³（-1≤x≤2），且f（x）在x=1处有极大值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a=f（lg2），b=f（cos2），试比较a，b的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得m，n的值，从而得f（x）=3x-x³，由f′（x）＞0可求其递增区间，由f′（x）＜0可求其递减区间；
（Ⅱ）比较知，-1＜cos2＜lg2＜1，利用（Ⅰ）的结论即可比较a，b的大小．

解答：解：（Ⅰ）求导f′（x）=m-3nx²…（2分）
依题意

m-n=2 m-3n=0

，解得m=3，n=1，
所以f（x）=3x-x³…（4分）
当f′（x）=3-3x²＞0，即x²-1＜0，⇒-1＜x＜1；
f′（x）=3-3x²＜0⇒x＜-1或x＞1；
所以函数f（x）的单调增区间为（-1，1）；
函数f（x）的单调减区间为（1，2]，…（10分）
（Ⅱ）因为-1＜cos2＜lg2＜1，函数f（x）在区间（-1，1）为增函数
所以 b=f（cos2）＜a=f（lg2），即b＜a…（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查方程思想与综合运算能力，属于中档题．