Question

 已知函数f（x）＝2lnx+ax²－1（a∈R）

(Ⅰ)求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a＝1，

（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m对任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范围；

（ii）若x₁，x₂是两个不相等的正数，且f（x₁）+f（x₂）＝0，求证x₁+x₂>2.

Answer 1

 (Ⅰ)f(x)的定义域为，，  令，，

  ①当时，在恒成立，f(x)递增区间是； …….2分

  ②当时，,

又x>0,  递增区间是，递减区间是.      ………4分

（Ⅱ）（ⅰ）

设,

   化简得：, ,…6分

     ，在上恒成立，在上单调递减，

  所以，,即的取值范围是       

（ⅱ），在上单调递增,

①若，则与已知矛盾,

②若,则与已知矛盾,

③若，则，又，得与矛盾,

④不妨设，则由（Ⅱ）知当时,,

令，则,
又在上单调递增，即 .     

证2：

,

设，则t>0，，,

令，得，在（0，1）单调递减，在单调递增,

,又因为时,,不成立.

，.