Question

若(

x

-

2

x

)n的展开式中第三项是常数项，则n=

6

，展开式中各项的系数和为

1

．

Answer 1

分析：根据二项式定理，易得(

x

-

2

x

)n的通项，由题意，第三项是常数项，则有r=2时，T₃为常数项，可得

n-6

2

=0，解可得n的值，进而可得二项式为（

x

-

2

x

）⁶，令x=1可得展开式中各项的系数和．

解答：解：根据题意，(

x

-

2

x

)n的通项为T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r•（-

2

x

）^r=（-1）^r•C_n^r（2）^r•（x

n-3r

2

）
由题意，第三项是常数项，则有r=2时，T₃=（-1）²•C_n²（2）²•（x

n-6

2

）=4C_n²•（x

n-6

2

），为常数项，
即

n-6

2

=0，解可得n=6；
则该二项式为（

x

-

2

x

）⁶，令x=1可得，可得（1-

2

1

）⁶=1，
则其展开式中各项的系数和为1．
故答案为：6；1．

点评：本题考查二项式定理的应用与二项式系数的性质，解此类题目要注意区分展开式中各项的系数和与二项式系数和．