Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD，EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（I ）求证：AD丄BF；
（II ）若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N，试求二面角 B-MF-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°
又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，
∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．
∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．
又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，
∴AD⊥BF．
（Ⅱ）解：如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系．
可得D，，，，．
又∵N恰好为BF的中点，∴，，．
设M（0，0，z₀），∴．
又∵，，可得z₀=1．
∴M（0，0，1），故M为线段CE的中点．
设平面BMF的一个法向量，且，
，由，可得，
令y=1，则x=3，z=．得．
又∵平面MFC的一个法向量为，
∴==．
故所求二面角B-MF-C的余弦值为．
分析：（I）利用等腰直角三角形的性质可得∠BDC=45°，根据平行线的性质可得∠ABD=45°，又AD=DB，从而得到∠ADB=90°，可得AD⊥DB；由线面垂直的性质可得FD⊥DB，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面FDB，即可得到线线垂直；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
点评：熟练掌握等腰直角三角形的性质、平行线的性质、线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线线垂直、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角是解题的关键．