Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

，其中a为常数．
（I）当a=1时，讨论函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=3时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

，可求得f（-x）+f（x）=0，从而可知函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用单调性的定义，设x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），整理后得f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，依题意，判断符号即可知函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）a=3时，利用指数函数的性质与不等式的性质即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：（I）a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

，函数的定义域为R．
又f（-x）+f（x）=（1-

2

2-x+1

+（1-

2

2x+1

）
=2-

2•2x

(2-x+1)•2x

-

2

2x+1

=2-

2(2x+1)

2x+1

=0，
∴a=1时，函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴不论a为何实数f（x）总为增函数．
（Ⅲ）a=3时，∵2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴1＜3-

2

2x+1

＜3．
∴a=3时，函数f（x）的值域为（1，3）．

点评：本题考查指数函数的综合应用，着重考查函数的奇偶性、单调性与最值的综合应用，属于难题．