题目内容
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为
，一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆
+
=1(a＞b＞0)上的点（x0，y0）处的椭圆的切线方程是
+
=1．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）设椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)，根据它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，从而求出c值，再求出a和b的值，从而求解；
（Ⅱ）切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），求出切线方程，再把点M代入切线方程，说明点A，B的坐标都适合方程x+
y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，从而求出定点；
（Ⅲ）联立直线方程和椭圆的方程进行联立，求出两根的积和两根的和，求出|AC|，|BC|的长，求出λ的值看在不在，再进行判断；
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅱ）切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），求出切线方程，再把点M代入切线方程，说明点A，B的坐标都适合方程x+
| t |
| 3 |
（Ⅲ）联立直线方程和椭圆的方程进行联立，求出两根的积和两根的和，求出|AC|，|BC|的长，求出λ的值看在不在，再进行判断；
解答：解：（I）设椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)．
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又
=
，
所以a=2，b=
=
，
所以所求的椭圆Ω方程为
+
=1…（4分）
（II）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为
+
=1，
+
=1．
又两切线均过点M，
即x1+
y1=1，x2+
y2=1，
即点A，B的坐标都适合方程x+
y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，
故直线AB的方程是x+
y=1，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线AB恒过定点C（1，0）． …（9分）
（III）将直线AB的方程x=-
y+1，代入椭圆方程，
得3(-
y+1)2+4y2-12=0，即(
+4) y2-2ty-9=0
所以y1+y2=
，y1y2=
不妨设y1＞0，y2＜0|AC|=
=
=
y1，
同理|BC|=-
y2…（12分）
所以
+
=
•(
-
)=
•
=-
•
=-
•
=
•
=
即|AC|+|BC|=
|AC|•|BC|．
故存在实数λ=
，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|． …（15分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
所以a=2，b=
| a2-c2 |
| 3 |
所以所求的椭圆Ω方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为
| x1x |
| 4 |
| y1y |
| 3 |
| x2x |
| 4 |
| y2y |
| 3 |
又两切线均过点M，
即x1+
| t |
| 3 |
| t |
| 3 |
即点A，B的坐标都适合方程x+
| t |
| 3 |
故直线AB的方程是x+
| t |
| 3 |
故直线AB恒过定点C（1，0）． …（9分）
（III）将直线AB的方程x=-
| t |
| 3 |
得3(-
| t |
| 3 |
| t2 |
| 3 |
所以y1+y2=
| 6t |
| t2+12 |
| -27 |
| t2+12 |
不妨设y1＞0，y2＜0|AC|=
(x1-1)2+
|
(
|
| ||
| 3 |
同理|BC|=-
| ||
| 3 |
所以
| 1 |
| |AC| |
| 1 |
| |BC| |
| 3 | ||
|
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
| 3 | ||
|
| y2-y1 |
| y1y2 |
| 3 | ||
|
| ||
| y1y2 |
| 3 | ||
|
| ||||||
|
| 1 | ||
|
| ||
| 9 |
| 4 |
| 3 |
即|AC|+|BC|=
| 4 |
| 3 |
故存在实数λ=
| 4 |
| 3 |
点评：此题主要考查利用导数研究函数的切线方程，第三问是一个存在性问题，利用了根与系数的关系，需要联立方程，考查了学生的计算能力，是一道难题；
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