题目内容
设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为
．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1•k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】分析：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
，解得c，进一步求得a，b的值，从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）由
解得
，或
，表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
，解得c=2．又∵
，∴
，∴b=2．
∴椭圆C的方程为
．（6分）
（Ⅱ）由
解得
，或
，
不妨设
，P（x，y），
∴
，
由
，即x2=8-2y2，代入化简得
为定值．（12分）
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
，解得c，进一步求得a，b的值，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）由
解得，或，表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为
，解得c=2．又∵，∴，∴b=2．∴椭圆C的方程为
．（6分）（Ⅱ）由
解得，或，不妨设
，P（x，y），∴
，由
，即x2=8-2y2，代入化简得为定值．（12分）点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1=（-
，0），椭圆过点P（-
，
）
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
，左焦点F1到直线l：
的距离等于长半轴长．
+
=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=
，O为坐标原点．
•
为定值．
设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且
=
．
y+3=0相切，求椭圆C的方程．
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1=（-
，0），椭圆过点P（-
，
）