Question

已知A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量

m

=(

3

，cosA+1)，

n

=(sinA，-1)，

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，cosB=

3

3

，求b的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

m

⊥

n

 可得

m

•

n

=0，化简得到sin（A-

π

6

）=

1

2

．再由 0＜A＜π 可得-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，从而得到 A-

π

6

=

π

6

，由此求得 A的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求出 sinB 的值，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得 b=

asinB

sinA

，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=（

3

，cosA+1）•（sinA，-1）=

3

sinA+（cosA+1）•（-1）=0，
即

3

sinA-cosA=1，∴sin（A-

π

6

）=

1

2

．
由于 0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，A=

π

3

．
（Ⅱ）在△ABC中，A=

π

3

，a=2，cosB=

3

3

，∴sinB=

6

3

．
由正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

asinB

sinA

=

2× 6 3

3 2

=

4 2

3

．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，解三角形，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．