Question

【题目】已知数列满足，其中是数列的前项和．

（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；

（2）若，，求数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）详见解析

【解析】

试题（1）易知，则，代入可得数列的通项公式（2）由，则，可证为等差数列，则数列的通项公式可求（3）对于给定的，若存在，使得，

只需，由此能够证明数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

试题解析：（1）因为，

，

所以．

（2）若，则，∴，

两式相减得，即，

当时，，

两式相减得，即，

又由，得，，

所以数列是首项为2，公差为3-2=1的等差数列，

故数列的通项公式是．

（3）由（2）得，

对于给定的，若存在，使得，

只需，

即，即，则，

取，则，

∴对数列中的任意一项，都存在和使得