Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．

（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）求PM与平面AHB成角的正弦值；

(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）点N是靠近B点的四等分点

【解析】

（Ⅰ）根据线面垂直判定与性质定理进行论证，（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面AHB的一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与线面角关系得结果，（Ⅲ）先设N坐标，再根据与平面ABC的法向量的数量积为零解得结果.

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC，

又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∵AH平面PAC，

∴BC⊥AH．

∵H为PC的中点，PA=AC，

∴AH⊥PC．

∵PC∩BC=C．

∴AH⊥平面PBC；

（Ⅱ）

由题意建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），

P（0，0，2），H（0，1，1），M．

=（0，1，1），=（1，2，0），=．

设平面ABH的法向量为=（x，y，z），则，取=（2，-1，1）．

设PM与平面AHB成角为，

则sin====．

所以PM与平面AHB成角的正弦值为

（Ⅲ）假设在线段PB上存在点N，使得MN∥平面ABC．

设，=（1，2，-2），

∴．

∴==，

∵MN∥平面ABC，平面ABC的法向量为=（0，0，2），

∴=-=0，解得．

∴点N是靠近B点的四等分点．