Question

4．在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A．
（Ⅰ）求cosA及b的值；
（Ⅱ）求cos（$\frac{π}{3}$-2A）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理以及C=2A，求出cosA，然后利用余弦定理求出b即可．
（Ⅱ）利用二倍角公式求出sin2A，cos2A，然后利用两角差的余弦函数求解即可．

解答 解：（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{C}{sinC}$，
得$\frac{3}{sinA}$=$\frac{4}{sinC}$，…（2分）
因为C=2A，所以$\frac{3}{sinA}$=$\frac{4}{sin2A}$，即$\frac{3}{sinA}$=$\frac{4}{2sinAcosA}$，
解得cosA=$\frac{2}{3}$． …（4分）
在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得b²-$\frac{16}{3}$b+7=0，解得b=3，或b=$\frac{7}{3}$．
因为a，b，c互不相等，所以b=$\frac{7}{3}$． …（7分）
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{2}{3}$，∴sinA=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{{4\sqrt{5}}}{9}$，cos2A=2cosA²-1=-$\frac{1}{9}$，…（11分）
∴cos（$\frac{π}{3}$-2A）=$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2A=$\frac{{4\sqrt{15}-1}}{18}$． …（13分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．