Question

数列{a_n}的a₁=1，

a

=（n，a_n），

b

=（a_n+1，n+1），且

a

⊥

b

，则a₁₀₀=（　　）

• A．-100
• B．100
• C．

  100

  99

• D．-

  100

  99

Answer 1

分析：根据题中已知条件先求出a_n与a_n+1的关系，再求出数列a_n的通项公式，将n=100代入a_n的通项公式即可求出a₁₀₀的值．

解答：解：由题意

a

⊥

b

，
可知：an+1=-

n+1

n

an，
则有：a₂=-

2

1

a₁，
a₃=-

3

2

a₂，
a₄=-

4

3

a₃，
a₅=-

5

4

a₄，
…，
a_n-1=-

n-1

n-2

a_n-2，
an=-

n

n-1

an-1，
∴a_n=（-1）^n-1

2

1

×

3

2

×

4

3

×

5

4

×…×

n-1

n-2

×

n

n-1

a₁=（-1）^n-1 na₁=（-1）^n-1 n．
∴a₁₀₀=-100，
故选A．

点评：本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系、由递推公式推导数列的通项公式，是高考的热点，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于中档题．