已知点A.过定点M(0.2)的直线l上存在点P.使得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＜0$.则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A．$(\frac{π}{3}.\frac{2π}{3})$B．$[\frac{π}{3}.\frac{2π}{3}]$C．$[0.\frac{π}{3}]∪[\frac{2π}{3}.π)$DD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知点A（-1，0），B（1，0），过定点M（0，2）的直线l上存在点P，使得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＜0$，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）

A．

$（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$

B．

$[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$

C．

$[0，\frac{π}{3}]∪[\frac{2π}{3}，π）$D

D．

$[0，\frac{π}{3}）∪（\frac{2π}{3}，π）$

分析先需要设出直线l的方程，所以需讨论l是否存在斜率：存在斜率时l方程便为y=kx+2，这样即可设出P（x，kx+2），所以能得到$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$的坐标，从而根据条件$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＜0$会得到关于x的不等式（1+k²）x²+4kx+3＜0，要满足条件，该不等式便有解，从而△＞0，这样便得到k$＜-\sqrt{3}，或k＞\sqrt{3}$，这样即可求出此时l倾斜角α的范围；而不存在斜率时，用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件，从而得到$α=\frac{π}{2}$，这两种情况的α求并集即可．

解答解：如图，
（1）若l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+2；
∴设P（x，kx+2）；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（-1-x，-kx-2）•（1-x，-kx-2）=（1+k²）x²+4kx+3＜0；
∴该不等式有解；
∴△=16k²-12（1+k²）＞0；
解得k$＜-\sqrt{3}$，或k$＞\sqrt{3}$；
∴$tanα＜-\sqrt{3}，或tanα＞\sqrt{3}$；
∴$\frac{π}{3}＜α＜\frac{2π}{3}$，且$α≠\frac{π}{2}$；
（2）若l不存在斜率，则l方程为x=0；
∴设P（0，y）；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（-1，-y）•（1，-y）={y}^{2}-1＜0$；
∴-1＜y＜1；
即存在P点使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＜0$；
而此时$α=\frac{π}{2}$；
∴综上得直线l的倾斜角的范围是$（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$．
故选：A．