Question

2．对于使f（x）≥N成立的所有常数N中，我们把N的最大值叫作f（x）的下确界．若a，b∈（0，+∞），且a+b=2，则$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}{b}$的下确界为（　　）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 理解题目所给的新定义，利用基本不等式求出$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}{b}$的最小值，即可求出$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}{b}$的下确界．

解答 解：因为a，b∈（0，+∞，且a+b=2，
所以$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}{b}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}+3+\frac{3a}{b}+\frac{b}{3a}$）≥$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$=$\frac{8}{3}$，
当且仅当$\frac{3a}{b}=\frac{b}{3a}$，即b=3a时，等号成立，
所以$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}{b}$的下确界为$\frac{8}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查函数的最值和新定义，在解答的过程当中充分体现了新定义问题的特点、问题转化的思想以及函数求最值的方法．