Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）试判断函数的单调性；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，＜0，f（x）为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各段内的符号得到原函数的单调性；

（Ⅱ）分离参数t，可得恒成立．令，则问题等价于求解函数g（x）的最小值，然后利用导数分析求解函数g（x）的最小值得答案．

（Ⅰ）由题可得函数的定义域为，，

当时，因为，所以，所以函数在上单调递减；

当时，令，解得；令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）当时，，

则不等式可化为，

因为不等式恒成立，所以原问题可转化为．

设，显然函数的定义域为，，

令，则恒成立，

所以函数在上单调递增，

又，所以当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

故实数的取值范围为．