Question

已知函数f（x）=

x+1

．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）判断该函数在定义域上的单调性，并证明之．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据偶次根号下被开方数大于等于零，列出不等式求出x的范围，再表示出区间；
（Ⅱ）先判断出函数的单调性，再根据单调性定义进行证明，即取值、作差、变形、定号、下结论，其中变形时需要进行分子有理化．

解答：解：（Ⅰ）由x+1≥0得，x≥-1，
则函数的定义域是[-1，+∞）；
（Ⅱ）函数f（x）=

x+1

在[-1，+∞）单调递增，
设x₁＞x₂≥-1，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1+1

-

x2+1

=

( x1+1 - x2+1 )( x1+1 + x2+1 )

x1+1 + x2+1

=

x1-x2

x1+1 + x2+1

，
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₂+1≥0，
∴

x1+1

+

x2+1

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
则函数f（x）=

x+1

在[-1，+∞）单调递增．

点评：本题考查了函数的定义域求法，以及根据单调性定义进行证明，即取值、作差、变形、定号、下结论，对于解析式中出现根号往往需要进行有理化．