Question

选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，已知曲线C1：x2+y2=1，将曲线C₁上所有点横坐标，纵坐标分别伸长为原来的

2

倍和

3

倍后，得到曲线C₂
（1）试写出曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求点P，使得点P到直线l：x+y-4

5

=0的距离最大，并求距离最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出曲线C₁的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

(θ为参数)，设P（x′，y′），根据

x′= 2 x y′= 3 y

代换即可求出曲线C₂的参数方程．
（2）由（1）得点P(

2

cosθ，

3

sinθ)，利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．

解答：解：（1）曲线C₁的参数方程为

x=cosθ y=sinθ

(θ为参数)
由

x′= 2 x y′= 3 y

得

x′= 2 cosθ y′= 3 sinθ

∴C₂的参数方程为

x= 2 cosθ y= 3 sinθ

(θ为参数)
（2）由（1）得点P(

2

cosθ，

3

sinθ)
点P到直线l的距离d=

| 2 cosθ+ 3 sinθ-4 5 |

2

=

| 5 cos(θ-φ)-4 5 |

2

，其中tanφ=

2

3

，当cos（θ-φ）=-1时，dmax=

5 5

2

=

5 10

2

此时可取θ-φ=π，所以tanθ=-tanφ=-

2

3

，sinθ=-sinφ=-

10

5

，cosθ=-cosφ=-

15

5

，P点的坐标为(-

2 5

5

，-

3 5

5

)

点评：本题考查曲线参数方程求解、应用．考查函数思想，三角函数的性质．属于中档题．