Question

已知函数f（x）=

logax-1

（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，求证f（x）在[a，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）要使函数f（x）=

logax-1

有意义，必须且只须

x＞0 logax-1≥0

，由此可得函数的定义域；
（2）利用单调性的定义进行证明：设a≤x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），因此当a＞1时，函数f（x）=

logax-1

在[a，+∞）上为增函数．…（12分）可得到结论．

解答：（1）解：要使函数f（x）=

logax-1

有意义，必须且只须

x＞0 logax-1≥0

，即

x＞0 logax≥1

…（3分）
若a＞1，则函数的定义域为[a，+∞）；若0＜a＜1，则函数的定义域为（0，a]．…（6分）
（2）证明：设a≤x₁＜x₂，则由a＞1知1≤log_ax₁＜log_ax₂…（8分）
∵f（x₁）-f（x₂）=

logax1-1

-

logax2-1

=

logax1-logax2

logax1-1 + logax2-1

…（10分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
因此当a＞1时，函数f（x）=

logax-1

在[a，+∞）上为增函数．…（12分）

点评：本题考查函数的定义域，考查函数单调性的证明，解题的关键是掌握函数单调性的证题步骤，属于中档题．