Question

已知a，b，c∈R⁺，求证：

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

．

Answer 1

分析：采用分析法来证，先把不等式转化为：

a2+b2+c2

3

≥(

a+b+c

3

)2，整理后，得到一恒成立的不等式即可．

解答：证明：要证

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

，
只需证：

a2+b2+c2

3

≥(

a+b+c

3

)2，
只需证：3（a²+b²+c²）≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．
只需证：2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca
只需证：（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而这是显然成立的，
所以

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

成立．

点评：本题主要考查不等式的证明．第二问的证明用到了分析法，分析法是从要证明的结论出发，一步步向前推，得到一个恒成立的不等式，或明显成立的结论即可．