Question

已知双曲线C的方程为＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝．

(1)求双曲线C的渐近线方程；

(2)若A、B分别是两渐近线上的点，AB是位于第一、四象限间的动弦，△AOB的面积为定值，且双曲线C过AB的一个三等分点P，试求双曲线C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)＝a2＋b2b2＝b＝． 　　∴双曲线＝1的渐近线方程为y＝±＝±． 　　(2)令渐近线y＝的倾斜角为α，如下图： 　　则tanα＝， 　　sin2α＝2sinαcosα 　　＝． 　　可令A(2t1，3t1)，B(2t2，－3t2)．|OA|＝，|OB|＝． 　　∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin2α 　　＝··＝6t1t2． 　　又∵S△AOB＝，∴t1t2＝． 　　由＝2P()， 　　即P(，t1－2t2)． 　　又由b2＝知双曲线C：＝1，即为x2－＝a2． 　　∵P在双曲线C上． 　　()2－(t1－2t2)2＝a2(t1＋2t2)2－(t1－2t2)2＝8t1t2＝． 　　又∵t1t2＝， 　　∴a2＝4， 　　∴双曲线C的方程为＝1．