题目内容

已知双曲线C的方程为
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），离心率e=
5
2
，顶点到渐近线的距离为
2
5
5
．求双曲线C的方程．
分析：依题意可得到e2=
a2+b2
a2
=
5
4
，顶点到渐近线的距离d=
ab
c
=
2
5
5
，解方程组即可求得答案．
解答：解：∵双曲线C：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
c
a
=
5
2
，
∴e2=
a2+b2
a2
=
5
4
，
∴a2=4b2；①
设顶点P（0，a）到渐近线ax-by=0的距离为d
则d=
ab
c
=
2
5
5
，
∴
a2b2
a2+b2
=
4
5
，②
由①②联立得：a2=4，b2=1．
∴双曲线C的方程为：
y2
4
-x2=1．
点评：本题考查双曲线的简单性质与标准方程，考查方程思想与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线C的方程为：
x2
9
-
y2
16
=1
（1）求双曲线C的离心率；
（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（-3，2
3
）的双曲线的方程．
（2013•嘉定区一模）已知双曲线C的方程为x2-
y2
4
=1，点A（m，2m）和点B（n，-2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足
AP
=λ•
PB
（其中λ∈[
1
2
，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．
已知双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左右的交点分别为A，B
（1）求证：点P在直线x=
a2
c
上（C为半焦距）．
（2）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（3）若|AP|=3|PB|，求离心率．
已知双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，它的左、右焦点分别F1，F2，左右顶点为A1，A2，过焦点F2先做其渐近线的垂线，垂足为p，再作与x轴垂直的直线与曲线C交于点Q，R，若PF2，A1A2，QF1依次成等差数列，则离心率e=（　　）

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