Question

已知函数f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ≤2π.

(1)当cosθ=0时,判断函数f(x)是否有极值;

(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围.

Answer 1

解:(1)当cosθ=0时,f(x)=4x³,则f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值.

(2)f′(x)=12x²-6xcosθ,令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=.

由(1),只需分下面两种情况讨论:

①当cosθ＞0时,随x的变化,f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,)		(,+)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?↗	极大值	↙?	极小值	↗?

因此,函数f(x)在x=处取得极小值f(),

且f()=-cos³θ+cosθ.

要使f()＞0,必有-cosθ(cos²θ-)＞0,

可得0＜cosθ＜;

由于0≤θ≤2π,故＜θ＜或＜θ＜.

②当cosθ＜0时,随x的变化,f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:

x	(-∞,)		(,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	?↘	极小值	↗?

因此函数f(x)在x=0处取得极小值f(0),且f(0)=cosθ.

若f(0)＞0,则cosθ＞0,矛盾,所以当cosθ＜0时,f(x)的极小值不会大于零.

综上,要使函数f(x)在(-∞,+∞)内的极小值大于零,参数θ的取值范围为(,)∪(,).

(3)由(2)知,函数f(x)在区间(-∞,0)与(,+∞)内都是增函数,

由题设,函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数,则a需满足不等式组

由(2),参数θ∈(,)∪(,)时,0＜cosθ＜,要使不等式2a-1关于参数θ恒成立,必有2a-1≥,即≤a.

综上,解得a≤0或≤a＜1,

所以a的取值范围是(-∞,0］∪［,1).