Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行．
（1）求a，b的值；
（2）若对x∈[-1，2]都有f(x)＜

1

c

恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行，建立方程，即可求a，b的值；
（2）依题意得x3-

1

2

x2-2x+c＜

1

c

，即x3-

1

2

x2-2x＜

1

c

-c，对x∈[-1，2]恒成立，利用导数法，确定左边对应函数的最大值，可得不等式，从而可求c的取值范围．

解答：解：（1）求导函数，可得f'（x）=3x²+2ax+b，
由题意3(-

2

3

)2+2a(-

2

3

)+b=0---①
又3×1²+2a×1+b=0---②
联立得a=-

1

2

，  b=-2…（5分）
（2）依题意得x3-

1

2

x2-2x+c＜

1

c

，即x3-

1

2

x2-2x＜

1

c

-c，对x∈[-1，2]恒成立，
设y=x3-

1

2

x2-2x，则y'=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
解（x-1）（3x+2）=0得x=-

2

3

， x=1
当x∈(-1，-

2

3

)时，y'＞0；当x∈(-

2

3

，1)时，y'＜0；当x∈（1，2）时，y'＞0…（10分）
则f(x)极大值=

22

27

，f(x)极小值=-

3

2

又f(-1)=

1

2

，f(2)=2，所以f（x）_最大值=2；
故只须 

1

c

-c＞2…（12分）
解得c＜-

2

-1或0＜c＜

2

-1
即c的取值范围是(-∞，-

2

-1)∪(0，

2

-1)…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求最值是关键．