Question

已知f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）已知2

1

x

＞xa对任意x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．
（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．
（3）要证明不等式成立，问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))．由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，构造新函数，得到结论．

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增  …（2分）
①当0＜t＜

1

e

时，t+2＞

1

e

f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；        …（3分）
②当

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
f（x）_min=f（t）=tlnt； …（4分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

…（5分）
（2）在2

1

x

＞xa两边取对数得

1

x

ln2＞alnx，…（6分）
由于0＜x＜1，所以

a

ln2

＞

1

xlnx

，…（7分）
令g(x)=

1

xlnx

，由（1）可知，当x∈（0，1）时，g(x)≤gmax(x)≤g(

1

e

)=-e（8分）
所以

a

ln2

＞-e，即a＞-eln2．    …（9分）
（3）问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，…（10分）
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到，（11分）
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，…（12分）
易知m(x)max=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到，…（13分）
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．           …（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，利用最值解决函数的恒成立思想，不同解题的关键是构造新函数，利用新函数的性质解决问题．