题目内容

已知中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆C，其长轴长等于4，离心率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点E（0，1），问是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的标准方程为： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，（a＞b＞0）…（1分）
则由长轴长等于4，即2a=4，所以a=2．…（2分）
又离心率为 $\text{[math]}$ ，所以c= $\text{[math]}$ ，…（3分）
所以b²=a²-c²=2…（4分）
所求椭圆C的标准方程为 $\text{[math]}$ …（5分）
（Ⅱ）假设存在这样的直线l：y=kx+m，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为F（x₀，y₀），
因为|ME|=|NE|，所以MN⊥EF，所以 $\text{[math]}$ …①
（i）k=0，显然直线y=m（- $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$ ）符合题意；
（ii）下面仅考虑k≠0情形：
由直线方程代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，可得4k²+2＞m²…②…（7分）
则x₀= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．…（8分）
代入①式得 $\text{[math]}$ ，解得m=-1-2k²…（11分）
代入②式得4k²+2＞-1-2k²，得 $\text{[math]}$ ．
综上（i）（ii）可知，存在这样的直线l，其斜率k的取值范围是（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（13分）
分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆的标准方程，利用长轴长等于4，离心率为 $\text{[math]}$ ，可求a，c的值，从而b²=a²-c²=2，进而可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）假设存在这样的直线l：y=kx+m，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为F（x₀，y₀），根据|ME|=|NE|，可得 $\text{[math]}$ ，考虑k=0与k≠0情形，由直线方程代入椭圆方程，确定中点坐标，结合判别式，即可确定斜率k的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，确定中点坐标是关键．