题目内容

(2012•湖南模拟)已知中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为
2
2

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点E(0,1),问是否存在直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,且|ME|=|NE|?若存在,求出k的取值范围,若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由题意可设椭圆的标准方程,利用长轴长等于4,离心率为
2
2
,可求a,c的值,从而b2=a2-c2=2,进而可得椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)假设存在这样的直线l:y=kx+m,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为F(x0,y0),根据|ME|=|NE|,可得
y0-1
x0
•k=-1(x0≠0)
,考虑k=0与k≠0情形,由直线方程代入椭圆方程,确定中点坐标,结合判别式,即可确定斜率k的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由题意可设椭圆的标准方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)…(1分)
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.…(2分)
又离心率为
2
2
,所以c=
2
,…(3分)
所以b2=a2-c2=2…(4分)
所求椭圆C的标准方程为
x2
4
+
y2
2
=1
…(5分)
(Ⅱ)假设存在这样的直线l:y=kx+m,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为F(x0,y0),
因为|ME|=|NE|,所以MN⊥EF,所以
y0-1
x0
•k=-1(x0≠0)
…①
(i)k=0,显然直线y=m(-
2
<m<
2
)符合题意;
(ii)下面仅考虑k≠0情形:
由直线方程代入椭圆方程,消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
由△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,可得4k2+2>m2…②…(7分)
则x0=
x1+x2
2
=-
2km
1+2k2
y0=kx0+m=
m
1+2k2
.…(8分)
代入①式得
m
1+2k2
-1
-
2km
1+2k2
•k=-1
,解得m=-1-2k2…(11分)
代入②式得4k2+2>-1-2k2,得-
2
2
<k<
2
2
(k≠0)

综上(i)(ii)可知,存在这样的直线l,其斜率k的取值范围是(-
2
2
2
2
)…(13分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,联立方程,确定中点坐标是关键.
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