Question

如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB．

　　(1)求证：平面CA′B⊥平面A′AB；

　　(2)若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°，求AC′与平面BCC′B′所成角的大小(用反三角函数表示)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵　在三棱柱ABC-A′B′C′中，C′B′∥CB 　　∴　CB⊥AB，又∵　CB⊥BB′，AB∩BB′=B 　　∴　CB⊥平面A′AB．∵　CB平面CA′B 　　∴　平面CA′B⊥平面A′AB． 　　(2)解：由四边形A′ABB′是菱形，∠ABB′=60° 　　连结AB′可知△ABB′是正三角形 　　取BB′中点H，连结AH，则AH⊥BB′，如图所示 　　又由CB⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面C′B′BC 　　而AH垂直于两平面交线BB′ 　　∴　AH⊥平面C′B′BC，连结C′H 　　则∠AC′H为AC′与平面BCC′B′所成的角 　　AB′=4，AH=，于是在直角三角形C′B′A中， 　　AC′==5 　　在Rt△AHC′中，sin∠AC′H= 　　∴　∠AC′H= 　　∴　直线AC′与平面BCC′B′所成的角是