Question

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0)，B(2,0)，D(0,2),  P（），依题意得

｜｜MA｜-｜MB｜｜=｜PA｜-｜PB｜

＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜｜MA｜-｜MB｜｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

则由　解得a²=b²=2,

∴曲线C的方程为

           图1                                   图2

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得

（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴ 　

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E（x₁，y₁），F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S_△OEF，则有

        ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1)∪(1-,1) ∪(1, ]

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴ 　

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

S_△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S_△ODE=

综上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面积不小于2

     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.