Question

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，由题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=-=2＜|AB|=4．由此可知曲线C的方程；
（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）解：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|
=-
=2＜|AB|=4．
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2，2a=2，∴a²=2，b²=c²-a²=2．
∴曲线C的方程为．
（Ⅱ）解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴?．
∴．②
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则由①式得
|x₁-x₂|=．③
当E、F在同一支上时
S_△OEF=|S_△ODF-S_△ODE|=|OD|•||x₁|-|x₂||=|OD|•|x₁-x₂|；
当E、F在不同支上时
S_△OEF=S_△ODF+S_△ODE=|OD|•（|x₁|+|x₂|）=|OD|•|x₁-x₂|．
综上得S_△OEF=，于是由|OD|=2及③式，
得S_△OEF=．
若△OEF面积不小于2，即，则有，解得．④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为且k≠±1
点评：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力