Question

（2012•茂名二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=x，△BCD是正三角形．
（1）将四边形ABCD的面积S表示为x的函数；
（2）求S的最大值及此时的x值．

Answer 1

分析：（1）在三角形ABD中，由AB，AD及cosx的值，利用余弦定理表示出BD²，然后利用三角形的面积公式标宋出三角形BCD与三角形ABD的面积，两三角形面积相加表示出四边形ABCD的面积S与x的函数关系式；
（2）将S与x的关系式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出S的最大值及此时x的值．

解答：解：（1）在△ABD中，AB=AD=2，∠BAD=x，
根据余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosx=2²+2²-2×2×2cosx=8-8cosx，
∴S_△BCD=

1

2

BD•BDsin

π

3

=

3

4

BD²=

3

4

（8-8cosx）=2

3

-2

3

cosx，S_△ABD=

1

2

AB•ADsinx=2sinx，
∴S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△ABD=2

3

-2

3

cosx+2sinx=2

3

+4sin（x-

π

3

），
（2）∵x∈（0，π），
∴x-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
又S_{四边形ABCD}=2

3

+4sin（x-

π

3

），
∴当x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

6

时，S_{四边形ABCD}取得最大值，最大值为4+2

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．