题目内容

证明函数f(x)=log2(x2+1)在（0，+∞）上是增函数.

答案：
解析：

证明：设x1,x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)=log2(x12+1)－log2(x22+1)

∵0＜x1＜x2

∴x12+1＜x22+1

又∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数.

∴log2(x12+1）＜log2(x22+1)

即f(x1)＜f(x2)，

∴函数f(x)=log2(x2+1)在（0，+∞）上是增函数.


练习册系列答案
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已知a＞0，函数f(x)=
1-ax
x
，x∈（{0，+∞}），设0＜x1＜
2
a
，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x2，0）证明：0＜x2≤
1
a
．
定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数f(x)=x+
1
x
，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数f(x)=
1
x
-ax2在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
已知定义在R上的函数f(x)=2x+
a2x
，a为常数，若f （x）为偶函数．
（l）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明．
（2013•徐州模拟）已知函数f(x)=
a
x
+lnx，g（x）=
1
2
bx2-2x+2，a，b∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；
（3）记函数F（x）=|f（x）|，证明：存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点．
已知a＞0，函数f(x)=
1-ax
x
，x∈(0，+∞)．设0＜x1＜
2
a
，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）．证明：
①0＜x2≤
1
a
；
②若x1＜
1
a
，则x1＜x2＜
1
a
．

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