Question

（2012•长春模拟）已知f（x）=2lnx+

(a-1)(x2-1)

x

．
（1）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，然后根据点斜式可得切线的直线方程；
（2）讨论a与0和1的大小，利用导数研究函数在[1，+∞）上的单调性，从而可求出函数的最值，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f'（x）=

2

x

，∴f'（1）=2，又f（1）=0，
∴所求切线方程为y=2（x-1），即2x-y-2=0．（4分）
（2）f'（x）=

2

x

+（a-1）（1+

1

x2

），
①当a≥1时，又x≥1，f（x）≥0，不合题意；
②当a≤0时，f'（x）=

2

x

+（a-1）（1+

1

x2

）=

a

x2

-(

1

x

-1)2+a≤0，
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数，∴f（x）≤f（1）=0，符合题意；
③当0＜a＜1时，f'（x）=

2

x

+（a-1）（1+

1

x2

）=

(a-1)x2+2x+(a-1)

x2

．
设h（x）=（a-1）x²+2x+（a-1），令h（x）=0得x=

-1± 1-(a-1)2

a-1

．
可验证得：

-1- 1-(a-1)2

a-1

＞1＞

-1+ 1-(a-1)2

a-1

．
当x∈（1，

-1- 1-(a-1)2

a-1

）时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在此区间上是单增函数，恒有f（x）＞f（1）=0，不合题意．
综上实数a的取值范围是（-∞，0]．（12分）

点评：本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容，属于中档题．