题目内容

12．若直线l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$2\sqrt{2}$C．$3+\sqrt{2}$D．$3+2\sqrt{2}$

分析 直线l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：直线l：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1．
∴a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}$a=2+$\sqrt{2}$时取等号．
则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3+2$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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2．设f（x）=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}（1-a）$x2-ax+$\frac{1}{3}$（a＞0），当0≤x≤a时，f（x）的值域为[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]，则a=（　　）
A．2B．1C．$\sqrt{2}$D．$\sqrt{3}$
3．A为三角形的内角，则sinA$＞\frac{1}{2}$是cosA$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$的（　　）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
20．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：
①$f（x）=3-\frac{4}{x}$不可能是k型函数；
②若函数$y=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a≠0）$是1型函数，则n-m的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
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④若函数$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x$是3型函数，则m=-4，n=0；
其中正确的说法为②④．（填入所有正确说法的序号）
7．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sintx，-{cos^2}tx），\overrightarrow n=（costx，1）（t＞0）$，把函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{1}{2}$化简为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y=f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：
（1）请直接写出①处应填的值，并求t的值及函数y=f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上的单增区间、单减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$f（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）=1，c=2，a=\sqrt{7}$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$
x$\frac{π}{12}$$\frac{7π}{12}$①
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f（x）010-10
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